Question

【题目】定义域为R的偶函数f（x）满足对x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（0， ）
【解析】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），
又f（﹣1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2 ，
函数的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．
∵函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
令g（x）=loga（|x|+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．
∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1，
要使函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，
则有g（2）＞f（2），可得 loga（2+1）＞f（2）=﹣2，
即loga3＞﹣2，∴3＜ ，解得- ＜a＜ ，又0＜a＜1，∴0＜a＜ ，
故答案为：（0， ）．

令x=﹣1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣loga（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解．