【题目】已知函数,函数
,其中
,
是
的一个极值点,且
.
(1)讨论的单调性
(2)求实数和a的值
(3)证明
【答案】(1)在区间
单调递增;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)求出,在定义域内,再次求导,可得在区间
上
恒成立,从而可得结论;(2)由
,可得
,由
可得
,联立解方程组可得结果;(3)由(1)知
在区间
单调递增,可证明
,取
,可得
,而
,利用裂项相消法,结合放缩法可得结果.
(1)由已知可得函数的定义域为
,且
,
令,则有
,由
,可得
,
可知当x变化时,的变化情况如下表:
1 | |||
- | 0 | + | |
极小值 |
,即
,可得
在区间
单调递增;
(2)由已知可得函数的定义域为
,且
,
由已知得,即
,①
由可得,
,②
联立①②,消去a,可得,③
令,则
,
由(1)知,,故
,
在区间
单调递增,
注意到,所以方程③有唯一解
,代入①,可得
,
;
(3)证明:由(1)知在区间
单调递增,
故当时,
,
,
可得在区间
单调递增,
因此,当时,
,即
,亦即
,
这时,故可得
,取
,
可得,而
,
故
.
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【题目】袋中装有9只球,其中标有数字1,2,3,4的小球各2个,标数字5的小球有1个.从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3个小球上的最大数字.
(1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;
(2)求随机变量的分布列和期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,曲线
:
(
为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点、
轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系
取相同单位长度的极坐标系中,曲线
:
.
(1)求曲线的普通方程以及曲线
的平面直角坐标方程;
(2)若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线
的距离相等,求这三个点的极坐标.
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【题目】已知定义在R上的函数f(x),f′(x)是其导函数且满足f(x)+f′(x)>2,f(1)=2,则不等式exf(x)>4+2ex的解集为_____
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【题目】某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有
A. 72种 B. 36种 C. 24种 D. 18种
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【题目】某地1~10岁男童年龄(单位:岁)与身高的中位数
(单位
,如表所示:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
76.5 | 88.5 | 96.8 | 104.1 | 111.3 | 117.7 | 124 | 130 | 135.4 | 140.2 |
对上表的数据作初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
112.45 | 82.50 | 3947.71 | 566.85 |
(1)求关于
的线性回归方程(回归方程系数精确到0.01);
(2)某同学认为方程更适合作为
关于
的回归方程模型,他求得的回归方程是
.经调查,该地11岁男童身高的中位数为
,与(1)中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好?
(3)从6岁~10岁男童中每个年龄阶段各挑选一位男童参加表演(假设该年龄段身高的中位数就是该男童的身高).再从这5位男童中任挑选两人表演“二重唱”,则“二重唱”男童身高满足的概率是多少?
参考公式:,
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【题目】关于函数,下列说法正确的是( )
(1)是
的极大值点 ;(2)函数
有且只有1个零点;(3)存在正实数
,使得
恒成立 ;(4)对任意两个正实数
,且
,若
,则
A. B.
C.
D.
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