Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,左顶点为,过点作斜率为的直线交椭圆于点,交轴于点.

(1)求椭圆的方程;

(2)已知为的中点,是否存在定点,对于任意的都有,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)若过点作直线的平行线交椭圆于点,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）定点的坐标为.（3）当时, 的最小值为.

【解析】试题分析：(1)由椭圆的离心率,左顶点为易得结论;(2)直线的方程为,联立椭圆方程消去y,由根与系数的关系,求出点P坐标,根据题意,则结论易得;(3)设的方程可设为,联立椭圆方程,求出点M坐标, =,结合基本不等式求解即可.

试题解析：

(1) 椭圆的离心率,左顶点为

,

==

椭圆的标准方程为.

(2)直线的方程为,

由消元得=

==

当时, = =

,

点为的中点,

的坐标为

则=

直线的方程为,

令,得点坐标为

假设存在定点使得,

则,即=恒成立,

恒成立,

,即,

定点的坐标为

(3) ,

的方程可设为.

由,得点的横坐标为=

由,

得====,

当且仅当=即时取“=”,

当时, 的最小值为.