Question

【题目】如图甲，已知矩形中， 为上一点，且，垂足为，现将矩形沿对角线折起，得到如图乙所示的三棱锥.

（Ⅰ）在图乙中，若，求的长度；

（Ⅱ）当二面角等于时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）余弦值为.

【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，由线面垂直的判定定理，可得平面，所以,由勾股定理求出BH的长度；（Ⅱ）以为坐标原点， 为轴， 为轴，垂直于平面的方向为轴建系，可得平面ADC的法向量为，由当二面角等于，求出点B,C，H三点的坐标，假设平面的法向量，由 ,求出 ，根据两向量的夹角公式，求出二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）由，可得折叠后平面，

所以，又，所以平面，所以，

解得， ，由勾股定理，

.

（Ⅱ）如图，以为坐标原点， 为轴， 为轴，垂直于平面的方向为轴建系，

可得平面的法向量为，

即有，再由二面角等于，

可得点坐标为，

所以，

设平面的法向量，

则 ，

所以，

由横坐标大于横坐标，

所以二面角为钝角，所以余弦值为.