Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1),分和两种情况讨论单调性即可；(2)法一：将不等式变形为，构造函数，证明即可；法二：将不等式变形为，分别设，求导证明即可.

(1) ，

当时，，函数的单调增区间为，无减区间；

当时，，当，，单增区间为上增，单调减区间为上递减。

(2)解法1： ，即证，令，，，令，，

在，上单调递增，，，故存在唯一的使得，)在上单调递减，在上单调递增，，，当时， ， 时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，，得证.

解法2：要证： ，即证： ，令，，当时，，时，；所以在上单调递减，在上单调递增， ； 令，，，当 时，，时，； 所以在上单调递增，在上单调递减，，，，得证.