Question

【题目】已知函数，其中．

（1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，试讨论函数的单调性；

（2）若，函数在上为增函数，求证：．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】试题分析：(1)根据求得 ，再求 ，导数的两个零点分别是和 ，分 三种情况讨论函数的单调区间；（2）首先求函数的导数，，将问题转化为 ，当 ，即 ，当时，将问题转化为恒成立问题，求所设函数的最值，即可求得结果.

试题解析：解：（1）由题意可得，

则 ，即,

当时，，此时在上递增；

②当时，当时，；当时，；

在上递增，在上递减；

③当时，当时，；当时，；

在上递增，在上递减；

（2）由题意可得对恒成立，

∵，∴，即对恒成立，

∴，即对恒成立，

设，，

则，

∴在上递增，

∴，∴．

又，∴．