Question

【题目】如图，C、D是以AB为直径的圆上两点，AB=2AD=2 ，AC=BC，F 是AB上一点，且AF= AB，将圆沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知CE= ．

（1）求证：AD⊥平面BCE；
（2）求证：AD∥平面CEF；
（3）求三棱锥A﹣CFD的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：依题AD⊥BD，

∵CE⊥平面ABD，∴CE⊥AD，

∵BD∩CE=E，

∴AD⊥平面BCE

（2）证明：Rt△BCE中，CE= ，BC= ，∴BE=2，

Rt△ABD中，AB=2 ，AD= ，∴BD=3．

∴ ．

∴AD∥EF，∵AD在平面CEF外，

∴AD∥平面CEF

（3）解：由（2）知AD∥EF，AD⊥ED，

且ED=BD﹣BE=1，

∴F到AD的距离等于E到AD的距离为1．

∴S△FAD= = ．

∵CE⊥平面ABD，

∴VA﹣CFD=VC﹣AFD= = =

【解析】（1）依题AD⊥BD，CE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BCE．（2）由已知得BE=2，BD=3．从而AD∥EF，由此能证明AD∥平面CEF．（3）由VA﹣CFD=VC﹣AFD，利用等积法能求出三棱锥A﹣CFD的体积．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．