【题目】如图,四棱锥的底面
是直角梯形,
,
,
,
,且
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)求点到平面
的距离;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)首先取的三等分点
,连结
,
,根据题意得到
,
,即四边形
是平行四边形,所以
.再根据线面平行的判定即可证明
平面
.
(2)首先证明平面
,再分别以
,
,
为
轴
轴
轴,建立空间坐标系,求出
,平面
法向量
,代入点到面的距离公式即可.
(3)分别求出平面和平面
的法向量,代入二面角公式即可.
(1)
取的三等分点
,连结
,
,则
.
又因为,所以
.
因为,所以
,四边形
是平行四边形.
所以,
又平面平面
,
平面PAD,
所以平面
.
(2)设点到平面
的距离为
.
因为,
,所以
,
所以,因为
,
,
所以平面
.
分别以,
,
为
轴
轴
轴,建立空间坐标系,
,
,
,
,
,
.
,
,
.
设平面法向量
,
因为,所以
,
点到平面
的距离
,
点到平面
的距离为
.
(3),
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
,
,
设平面的法向量为
,
,即
,
所以,二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某客户考察了一款热销的净水器,使用寿命为十年,改款净水器为三级过滤,每一级过滤都由核心部件滤芯来实现.在使用过程中,一级滤芯需要不定期更换,其中每更换个一级滤芯就需要更换
个二级滤芯,三级滤芯无需更换.其中一级滤芯每个
元,二级滤芯每个
元.记一台净水器在使用期内需要更换的二级滤芯的个数构成的集合为
.如图是根据
台该款净水器在十年使用期内更换的一级滤芯的个数制成的柱状图.
(1)结合图,写出集合;
(2)根据以上信息,求出一台净水器在使用期内更换二级滤芯的费用大于元的概率(以
台净水器更换二级滤芯的频率代替
台净水器更换二级滤芯发生的概率);
(3)若在购买净水器的同时购买滤芯,则滤芯可享受折优惠(使用过程中如需再购买无优惠).假设上述
台净水器在购机的同时,每台均购买
个一级滤芯、
个二级滤芯作为备用滤芯(其中
,
),计算这
台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.并以此作为决策依据,如果客户购买净水器的同时购买备用滤芯的总数也为
个,则其中一级滤芯和二级滤芯的个数应分别是多少?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,直线的极坐标方程为
,现以极点
为原点,极轴为
轴的非负半轴建立平面直角坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)求直线的直角坐标方程和曲线
的普通方程;
(2)若曲线为曲线
关于直线
的对称曲线,点
,
分别为曲线
、曲线
上的动点,点
坐标为
,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的离心率为
,过椭圆右焦点
的直线
与椭圆交于
,
两点,当直线
与
轴垂直时,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线与
轴不垂直时,在
轴上是否存在一点
(异于点
),使
轴上任意点到直线
,
的距离均相等?若存在,求
点坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】公元2020年春,我国湖北武汉出现了新型冠状病毒,人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等,严重的可导致肺炎甚至危及生命.为了尽快遏制住病毒的传播,我国科研人员,在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中,利用小白鼠进行科学试验.为了研究小白鼠连续接种疫苗后出现症状的情况,决定对小白鼠进行做接种试验.该试验的设计为:①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次;②连续接种三天为一个接种周期;③试验共进行3个周期.已知每只小白鼠接种后当天出现症状的概率均为
,假设每次接种后当天是否出现
症状与上次接种无关.
(1)若某只小白鼠出现症状即对其终止试验,求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率;
(2)若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次症状,则在这个接种周期结束后,对其终止试验.设一只小白鼠参加的接种周期为
,求
的分布列及数学期望.
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