Question

【题目】已知点，动点， 分别在轴， 轴上运动， ， 为平面上一点， ，过点作平行于轴交的延长线于点.

（Ⅰ）求点的轨迹曲线的方程；

（Ⅱ）过点作轴的垂线，平行于轴的两条直线， 分别交曲线于， 两点（直线不过），交于， 两点.若线段中点的轨迹方程为，求与的面积之比.

Answer 1

【答案】（1）;（2）2.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得为， 的中点，设，则， 分别为， ,结合可得点的轨迹方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点，设， ， ， 中点为， 当当与轴不垂直时，由可得，当与轴垂直时也适合方程，由题意得即为的准线，结合面积公式即可.

试题解析：（Ⅰ）设，由为， 的中点可得为， 的中点，则， 分别为， ,， 可得点的轨迹方程为：

（Ⅱ）设直线与轴的交点，设，

设， 中点为，

当与轴不垂直时，由可得

而，则 即，即

当与轴垂直时， ， 中点与重合，适合方程.

由为， 的中点，可知过点作轴的垂线即为的准线，

，

与的面积之比为2.