【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
为
的中点,
是
上的点.
(1)若平面
,证明:
平面
.
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)因为,利用线面平行的判定定理可证出
平面
,利用点线面的位置关系,得出
和
,由于
底面
,利用线面垂直的性质,得出
,且
,最后结合线面垂直的判定定理得出
平面
,即可证出
平面
.
(2)由(1)可知,
,
两两垂直,建立空间直角坐标系
,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面
和平面
的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出
的余弦值.
(1)证明:因为,
平面
,
平面
,
所以平面
,
因为平面
,
平面
,所以可设平面
平面
,
又因为平面
,所以
.
因为平面
,
平面
,
所以,从而得
.
因为底面
,所以
.
因为,所以
.
因为,所以
平面
.
综上,平面
.
(2)解:由(1)可得,
,
两两垂直,以
为原点,
,
,
所在
直线分别为,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为,所以
,
则,
,
,
,
所以,
,
,
.
设是平面
的法向量,
由取
取,得
.
设是平面
的法向量,
由得
取,得
,
所以,
即的余弦值为
.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,
为抛物线上一点.
(1)求过点的切线方程(用
表示);
(2)过直线上一点
作抛物线的两条切线,切点为
,求
与
(
为抛物线的顶点)面积之和的最小值.
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【题目】将4名大学生随机安排到A,B,C,D四个公司实习.
(1)求4名大学生恰好在四个不同公司的概率;
(2)随机变量X表示分到B公司的学生的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
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【题目】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行,中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务,要求每个人都要被派出去提供服务,且每个场地都要有志愿者服务,则甲和乙恰好在同一组的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
的左顶点为
,右焦点为
,斜率为1的直线与椭圆
交于
,
两点,且
,其中
为坐标原点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点且与直线
平行的直线与椭圆
交于
,
两点,若点
满足
,且
与椭圆
的另一个交点为
,求
的值.
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【题目】某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:
(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品”的规定?
(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;
(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值近似满足
,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?
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【题目】设数列对任意
都有
(其中
、
、
是常数) .
(Ⅰ)当,
,
时,求
;
(Ⅱ)当,
,
时,若
,
,求数列
的通项公式;
(Ⅲ)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当
,
,
时,设
是数列
的前
项和,
,试问:是否存在这样的“封闭数列”,使得对任意
,都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图所示的几何体B-ACDE中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,点M在线段BC上,且AM=.
(1)证明:AM⊥平面BCD;
(2)若点F为线段BE的中点,且三棱锥F-BCD的体积为1,求CD的长度.
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