【题目】已知

（1）当时，求的最大值；

（2）若存在使，得关于的方程有三个不相同的实数根，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）表示此时函数的解析式，求导分析单调性，即可求得最值.

（2）由于为分段函数，故分类讨论两段函数交点个数，将问题可转化为的根存在三个，记，，令，令，分两段求导分析函数图象特征，进而判定交点个数，求得参数取值范围.

（1）当时，，即

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以

（2），经验证不是方程的根，

所以原方程的根等价于的根，

记，，令，，单调递减，

令，即，

令为极大值点，其在上单调递增，在上单调递减，

当，，

所以在无实数根

当时，……①

有两个极值点，且，即，

故所以，

存在使①有三个实根所以满足条件.

当，的分子中，，显然，所以①仅有一个正根，

要使有两个负根，则﹐

综上所﹐即.

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