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【题目】如图1，平面五边形
是由边长为2的正方形
与上底为1，高为
直角梯形
组合而成，将五边形沿着
折叠，得到图2所示的空间几何体，其中
.
（1）证明：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（Ⅰ）以
为原点，以平行于
的方向为
轴，平行于
的方向为
轴，建立空间直角坐标系.过
点作
的高，交
于点
，先证明出
平面
，设
，根据
，可求出
，再利用向量法证明线线垂直，进而得到线面垂直；
（2）求出平面ABE的法向量
、平面BCF的法向量
，由
即可求出线面角.
（1）以为原点，以平行于的方向为轴，平行于的方向为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
过点作的高，交于点.
由于
，
，
所以
平面
，所以
，
又因为
，
，
所以平面.
设，由题设条件可得下列坐标：
，
， 
，
，
，
.
，
，由于
，
所以
，解得
，
故
，
.
可求
，
且
，
，
从而
，
.
因为
平面
，且
，
故
平面；
（2）由（1）得，
，，
.设平面
的法向量
，
由
及
得
令
，由此可得
.
设平面
的法向量
，
由
及
得
令
，由此可得
.
则
，因为二面角
大于
，
则二面角的余弦值为.
