Question

【题目】某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln (16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．

(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．

(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)由p＝q得

2(x＋4t－14)＝24＋8ln (16≤x≤24，t≥0)．

t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

∵t′＝－－<0，∴t是x的减函数．

∴tmin＝－×24＋ln ＝＋ln ＝＋ln ；

tmax＝－×16＋ln ＝＋ln ，

∴值域为.

(2)由(1)知t＝－x＋ln (16≤x≤24)．

而x＝20时，t＝－×20＋ln ＝1.5(元/千克)，

∵t是x的减函数，欲使x≤20，必须t≥1.5(元/千克)，要使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为1.5元/千克．