设不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+3n
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an（n∈N*）（整点即横坐标与纵坐标均为整数的点）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）（理）设Sn=
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
，求Sn的最小值（n＞1，n∈N*）；
（3）设Tk=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
ak
求证：T2n≥
7n+11
36
(n＞1，n∈N*)．
（文）记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn=
Sn
3•2n-1
．若对一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
分析：（1）由题设知Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，由y1=2n，y2=n，知an=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）由Sn=
1
an+1
+
1
an+2
++
1
a2n
=
1
3
×(
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
)．知Sn+1-Sn=
1
3
×(
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
)=
1
3
×(
1
2n+1
-
1
2n+2
)＞0．所以Sn=
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
≥
7
36
(n＞1，n∈N*)．
（ii）T2n=
1
3
×(1+
1
2
+S2+S4++S2n-1）≥
1
3
×(1+
1
2
+
7
12
+
7
12
++
7
12
n-1项
)=
7n+11
36
(n＞1，n∈N*)．
（文）由题设知Tn=
n(n+1)
2n
．Tn+1-Tn=
(n+1)(n+2)
2n+1
-
n(n+1)
2n
=
(n+1)(2-n)
2n+1
，n≥3时{Tn}是递减数列，且T1=1＜T2=T3=
3
2
，所以T2，T3是数列{Tn}的最大项，故m≥T2=
3
2
．
解答：解：（1）∵x＞0，y=3n-nx＞0，0＜x＜3，x=1或x=2．
∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上．记直线y=-nx+3n为l，l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y1、y2，
∴y1=2n，y2=n．∴an=3n（n∈N*）．
（2）（理）（i）Sn=
1
an+1
+
1
an+2
++
1
a2n
=
1
3
×(
1
n+1
+
1
n+2
++
1
2n
)．
∵Sn+1-Sn=
1
3
×(
1
2n+1
+
1
2n+2
-
1
n+1
)=
1
3
×(
1
2n+1
-
1
2n+2
)＞0．
∴Sn+1＞Sn，Sn≥S2（n＞1，n∈N*）．
∵S2=
1
3
×(
1
3
+
1
4
)=
7
36，
∴Sn=
1
an+1
+
1
an+2
++
1
a2n
≥
7
36
(n＞1，n∈N*)．

（ii）T2n=
1
3
×[1+
1
2
++
1
2n
)]=
1
3
×(1+
1
2
+S2+S4++S2n-1）
≥
1
3
×(1+
1
2
+
7
12
+
7
12
++
7
12
n-1项
)=
7n+11
36
(n＞1，n∈N*)．
（文）∵Sn=3（1+2+3+…+n）=
3n(n+1)
2
，∴Tn=
n(n+1)
2n
．
∴Tn+1-Tn=
(n+1)(n+2)
2n+1
-
n(n+1)
2n
=
(n+1)(2-n)
2n+1
，∴当n≥3时，Tn+1＜Tn，∴n≥3时{Tn}是递减数列，且T1=1＜T2=T3=
3
2
，∴T2，T3是数列{Tn}的最大项，故m≥T2=
3
2
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和不等式的应用．
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