【题目】已知三棱柱的侧棱和底面垂直,且所有顶点都在球O的表面上,侧面
的面积为
.给出下列四个结论:
①若的中点为E,则
平面
;
②若三棱柱的体积为
,则
到平面
的距离为3;
③若,
,则球O的表面积为
;
④若,则球O体积的最小值为
.
当则所有正确结论的序号是( )
A.①④B.②③C.①②③D.①③④
【答案】D
【解析】
①,证明,
平面
即得证,所以该命题正确;
②,求出到平面
的距离为2,所以该命题错误;
③,求出,即可判断该命题正确;
④,求出外接球的半径的最小值为2,即得球O体积的最小值为,所以该命题正确.
①,如图,连接,交
于点
,连接
.因为
,所以
,因为
平面
,
平面
,所以
平面
,所以该命题正确;
②,连接,过
作
,垂足为
,因为平面
平面
,平面
平面
,
,所以
平面
,所以
到平面
的距离就是
.由题得
,所以
,所以
到平面
的距离为2.所以该命题不正确;
③,如图,取中点
,连接
,则
的中点就是三棱柱的外接球的球心
,连接
.设
,球的半径为
,则
所以
.由题得
,所以
.所以
,所以球O的表面积为
,所以该命题正确;
④,设,球的半径为
,设上底面和下底面的中心分别为
,连接
,则其中点为
,连接
.由题得
所以
,即
,又
,所以
,所以
,(当且仅当
时取等),所以
最小值为2,所以球O体积的最小值为
,所以该命题正确.
故选:D.
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【题目】把方程表示的曲线作为函数
的图象,则下列结论正确的是( )
①在R上单调递减
②的图像关于原点对称
③的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3
④函数不存在零点
A.①③B.①②③C.①③④D.①②③④
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【题目】公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是:
,为纪念数学家祖冲之在圆周率研究上的成就,某教师在讲授概率内容时要求学生从小数点后的6位数字1,4,1,5,9,2中随机选取两个数字做为小数点后的前两位(整数部分3不变),那么得到的数字大于3.14的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆C: 的左、右顶点分别为
,
,上、下顶点分别为
,
,四边形
的面积为
,坐标原点O到直线
的距离为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,点P为椭圆C上异于A,B的一点,四边形为平行四边形,探究:平行四边形
的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.
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【题目】将函数的图像向左平移
个单位后得到函数
的图像,且函数
满足
,则下列命题中正确的是()
A. 函数图像的两条相邻对称轴之间的距离为
B. 函数图像关于点
对称
C. 函数图像关于直线
对称
D. 函数在区间
内为单调递减函数
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【题目】已知函数f(x)=ln (x+1)- -x,a∈R.
(1)当a>0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在x>0,使f(x)+x+1<- (a∈Z)成立,求a的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是棱
上的点,
,
,
.
(1)若为
的中点,求证:
面
;
(2)若二面角为
,设
,试确定
的值.
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