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椭圆
+
=1(a＞b＞0)上任一点P到两个焦点的距离的和为6，焦距为4
，A，B分别是椭圆的左右顶点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=
，求函数f（x）的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 2 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1•k2为定值；
（Ⅲ）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f(x)=
| S2(x) |
| x+3 |
（Ⅰ）由题意得，2a=6，∴a=3．
又2c=4
，∴c=2
，b2=a2-c2=1，故椭圆的方程为
+y2=1．
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），A（-3，0），B（3，0），，则
+y02=1，即
=1-
，则k1=
，k2=
，即 k1•k2=
=
=-
，∴k1•k2为定值 -
．
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 S(x)=
(6+2x)|y|，且y2=1-
，
于是，f(x)=
=
=-
-
+x+3 （0＜x＜3），
f′(x)=-
-
x+1． 令f'（x）=0，解之得x=1或x=-3（舍去），
当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值
．
又2c=4
| 2 |
| 2 |
| x2 |
| 9 |
（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠0），A（-3，0），B（3，0），，则
| x02 |
| 9 |
| y | 20 |
| ||
| 9 |
| y0 |
| x0+3 |
| y0 |
| x0-3 |
| ||
|
1-
| ||||
|
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
（Ⅲ）由题意，四边形ABCD是梯形，则 S(x)=
| 1 |
| 2 |
| x2 |
| 9 |
于是，f(x)=
| S2(x) |
| x+3 |
(x+3)2(1-
| ||
| x+3 |
| x3 |
| 9 |
| x2 |
| 3 |
f′(x)=-
| x2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
当0＜x＜1，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜3，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
所以f（x）在x=1时取得极大值，也是最大值
| 32 |
| 9 |
