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【题目】如图，已知四棱锥
中，
，
平面
，
，F，G分别是
的中点.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
.
【解析】
（Ⅰ）取
的中点O，连接
，根据条件可证平面
平面
，从而可证明.
（Ⅱ）
平面
，
平面，由
得
，故以点O为坐标原点，
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角.
（Ⅰ）证明：如图，取的中点O，连接.
点
分别为
的中点，点O为的中点，
为梯形
的中位线，
.
平面，
平面，
平面.
同理，
，
平面，
平面，
平面.
又
，
平面平面.
平面
，
平面.
（Ⅱ）平面，平面.
，
故以点O为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
在
中，
.
在
中，
.
在
中，
，作
，垂足为点H.
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
由
得
，令
，
；
设平面
的法向量为
，
由
得
令
.
设二面角
的大小为
，
由图可知，二面角为锐角，
则
.
所以二面角的余弦值为
