【题目】已知焦点在y轴上的抛物线过点
,椭圆
的两个焦点分别为
,
,其中
与
的焦点重合,过点
与
的长轴垂直的直线交
于A,B两点,且
,曲线
是以坐标原点O为圆心,以
为半径的圆.
(1)求与
的标准方程;
(2)若动直线l与相切,且与
交于M,N两点,求
的面积S的最小值.
【答案】(1):
;
:
;(2)
【解析】
(1)设的方程为
,将点
代入,可求出
方程,及
坐标,再由
,可求出椭圆方程;由
是以坐标原点O为圆心,以
为半径的圆,求出半径
的值,即可得到
的标准方程;
(2)由动直线l与相切,可知圆心
到直线
的距离为1,从而可得
的面积
,根据直线
的斜率存在和不存在两种情况,分别讨论,并结合韦达定理及弦长公式,可求出
的面积S的表达式,进而求出最小值即可.
(1)由题意,设的方程为
,则
,解得
,即
为
,
,
设椭圆的方程为
,焦点为
,将
代入椭圆方程可得
,
由,解得
,故
的方程为
,
由,可知圆
的圆心为
,半径为1,故
的方程为
.
(2)由动直线l与相切,可知圆心
到直线
的距离为1,所以
的面积
.
若的斜率不存在,其方程为
,将
代入
的方程,可得
,则
,此时
;
若的斜率存在,设方程为
,则
,整理得
,
联立,消去
得
,
则恒成立,
设,
,则
,
,
则,
将代入,可得
,
令,则
,
所以,
令,
,函数
在
上单调递减,即
,
故.
因为,所以
的面积S的最小值为
.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的坐标方程为
,若直线
与曲线
相切.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点
、
于原点
构成
,且满足
,求面积
的最大值.
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【题目】记表示m,n中的最大值,如
.已知函数
,
.
(1)设,求函数
在
上的零点个数;
(2)试探讨是否存在实数,使得
对
恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=aex,g(x)=lnx-lna,其中a为常数,且曲线y=f(x)在其与y轴的交点处的切线记为l1,曲线y=g(x)在其与x轴的交点处的切线记为l2,且l1∥l2.
(1)求l1,l2之间的距离;
(2)若存在x使不等式成立,求实数m的取值范围;
(3)对于函数f(x)和g(x)的公共定义域中的任意实数x0,称|f(x0)-g(x0)|的值为两函数在x0处的偏差.求证:函数f(x)和g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于2.
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【题目】已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的离心率为
,直线l:x+2y=4与椭圆有且只有一个交点T.
(I)求椭圆C的方程和点T的坐标;
(Ⅱ)O为坐标原点,与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A,B,直线l′与直线l交于点P,试判断是否为定值,若是请求出定值,若不是请说明理由.
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【题目】 设椭圆的左焦点为
,左顶点为
,顶点为B.已知
(
为原点).
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设经过点且斜率为
的直线
与椭圆在
轴上方的交点为
,圆
同时与
轴和直线
相切,圆心
在直线
上,且
,求椭圆的方程.
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【题目】某企业积极响应国家“科技创新”的号召,大力研发人工智能产品,为了对一批新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如下表所示:
试销单价 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
产品销量 | 91 | 86 | 78 | 73 | 70 |
附:参考公式:,
,
参考数据:,
,
.
(1)求的值;
(2)已知变量,
具有线性相关关系,求产品销量
(件)关于试销单价
(百元)的线性回归方程
(计算结果精确到整数位);
(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值.当销售数据
的残差的绝对值
时,则将销售数据称为一个“有效数据”.现从这6组销售数据中任取2组,求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.
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