【题目】已知函数.

（Ⅰ）求函数的极值；

（Ⅱ）求证：当时，；

（Ⅲ）当时，若曲线在曲线的上方，求实数a的取值范围.

【答案】（Ⅰ）极大值1，无极小值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）求导，列出随x的变化，和的情况表，进而求得极值；

（Ⅱ）令（），求导，由得，则，进而得出函数的单调性，由此得证；

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知符合题意，再令，分及均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围.

（Ⅰ）因为，定义域，所以.令，解得.

随x的变化，和的情况如下：

x

0

0

增

极大值

减

由表可知函数在时取得极大值，无极小值；

（Ⅱ）证明：令（），

.

由得，于是，故函数是上的增函数.

所以当时，，即；

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，满足题意.

令，.

当时，若，，则在上是减函数.

所以时，，不合题意.

当时，，则在上是减函数，所以，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围.

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