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（本小题满分14分）已知
的图像在点
处的切线与直线
平行.
⑴ 求
，
满足的关系式；
⑵ 若
上恒成立，求的取值范围；
⑶ 证明：
（
）
【答案】
（1）
；（2）
的取值范围是
；（3）见解析。
【解析】
试题分析：（Ⅰ）求导函数，利用图象在点（1，f（1））处的切线与直线y=2x+1平行，可得f′（1）=a-b=2，即可求a，b满足的关系式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
构造新函数g（x）=f（x）-2lnx=
-2lnx，x∈[1，+∞）则根据g（1）=0，g′（x），比较对应方程根的大小，进行分类讨论，即可求得a的取值范围；
（1）
，根据题意
，即 ………3分
（2）由（1）知，
，………4分
令
，
则
，
=
………5分
①当
时，
，
若
，则
，
在
为减函数，存在
，
即
在上不恒成立．
………6分
②
时，
，当
时，
，在增函数，又
，
∴
，∴恒成立．………7分
综上所述，所求的取值范围是 …………8分
（3）由（2）知当
时，
在
上恒成立．取
得
令
，
得
，
即
……10分
∴
………11分
上式中令n=1，2，3，…，n，并注意到：
然后n个不等式相加得到
………14分
考点：本试题主要考查了导数知识的运用，考查恒成立问题，考查不等式的证明。属于中档试题。
点评：解决该试题的关键是正确求出导函数，构造新函数，利用函数的单调性解题，这是解决一般不等式恒成立问题的常用的方法，也是比较重要的方法。
