已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，且对x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x）．又当x∈[0，1]时，f（x）=x．
（1）当x∈[-1，0]时，求f（x）的解析式；
（2）求证：函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数；
（3）解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可（无需写解题步骤）．注意：考生若选择多于一个问题解答，则按分数最低一个问题的解答正确与否给分．
①当x∈[2n-1，2n]（n∈Z）时，求f（x）的解析式．
②当x∈[2n-1，2n+1]（其中n是给定的正整数）时，若函数y=f（x）的图象与函数y=kx的图象有且仅有两个公共点，求实数k的取值范围．
③当x∈[0，2n]（n是给定的正整数且n≥3）时，求f（x）的解析式．
【答案】分析：（1）由y=f（x）是R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f（x）=x，由此能求出当x∈[-1，0]时，f（x）的解析式．
（2）对于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），故f（2+x）=f（-x）．由y=f（x）是偶函数，能够证明函数y=f（x）（x∈R）是以T=2为周期的周期函数．
（3）利用（1）的结论，结合偶函数的性质进行求解．
解答：（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（5分），第3小题最多（8分）．
解（1）∵y=f（x）是R上的偶函数，且x∈[0，1]时，f（x）=x，
又当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，有f（-x）=-x．
∴f（x）=-x（-1≤x≤0）．                 （5分）
（2）证明∵对于x∈R，恒有f（1+x）=f（1-x），
∴f（2+x）=f（1+（1+x））=f（1-（1+x）），即f（2+x）=f（-x）．      （7分）
又∵y=f（x）是偶函数，
∴f（2+x）=f（x），即y=f（x）是周期函数，且T=2就是它的一个周期．   （10分）
（3）依据选择解答的问题评分
①f（x）=2n-x（x∈[2n-1，2n]）．  （14分）
②．                                                         （16分）
③（18分）
点评：本题考查函数解析式的求法，考查周期函数的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数性质的灵活运用．
关闭