Question

【题目】若函数f（x）在区间A上，对a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[ ，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】A
【解析】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．
则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＞2m，
∵函数f（x）=xlnx+m在区间[ ，e]上是“三角形函数”，
f′（x）=lnx+1，
当x∈[ ， ）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；
当x∈（ ，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；
故当x= 时，函数f（x）取最小值﹣ +m，
又由f（e）=e+m，f（ ）=﹣ +m，
故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，
∴e+m＞2（﹣ +m）＞0，
解得：m∈ ，
故选：A．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义和函数的值的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法才能正确解答此题．