正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为
2
，M、N分别是AC和DC1上的点，且AM=DN=x
（1）求证MN∥平面BCC1B1
（2）设MN=y，求函数y=f（x）
（3）当MN最短时，求MN与AC所成的角．
分析：（1）过点N，作NP∥CC1，可得NP∥平面BCC1B1 ，且
DN
DC1
=
DP
DC
．由条件可得
DN
DC1
=
AM
AC
，故有
DP
DC
=
AM
AC
，可得PM∥AD，故 PM∥BC．可得MP∥
平面BCC1B1 ，可得平面MNP∥平面BCC1B1 ．从而证得MN∥平面BCC1B1．
（2）由三角形相似求得 MP=
2
（1-
x
2
 ），NP=
2
2
x，可得函数y=f（x）=
NP2+MP2
=
(x-1)2+1
，（0＜x＜2）．
（3）由（2）可得，当x=1时，MN最短为1，此时，M、N分别为AC、DC1的中点，MN与AC所成的角即为∠NMC．求得MP、NP、MN的值，可得∠NMC 的值，
即为所求．
解答：解：（1）过点N，作NP∥CC1，则由CC1⊂平面BCC1B1，NP不在平面平面BCC1B1 内，
可得NP∥平面BCC1B1 ，且
DN
DC1
=
DP
DC
．
∵AM=DN，AC=DC1，∴CP=CM，∴
DN
DC1
=
AM
AC
．
故有
DP
DC
=
AM
AC
，∴PM∥AD，PM∥BC．
再由BC⊂平面BCC1B1，NP不在平面平面BCC1B1 内，可得MP∥平面BCC1B1 ，
再由MP∩NP=P，可得平面MNP∥平面BCC1B1 ．
再由MN不在平面BCC1B1内，可得MN∥面BCC1B1 ．
（2）由（1）可得三角形MNP为直角三角形，设MN=y，由于AM=DN=x，正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为
2
，
由
MP
AD
=
CM
CA
，可得
MP
2
=
2-x
2
，∴MP=
2
（1-
x
2
 ），且0＜x＜2．
由
NP
CC1
=
DN
DC1
 可得
NP
2
=
x
2
，NP=
2
2
x．
故函数y=f（x）=
NP2+MP2
=
x2-2x+2
=
(x-1)2+1
，（0＜x＜2）．
（3）由（2）可得，当x=1时，MN最短为1，此时，M、N分别为AC、DC1的中点，
MN与AC所成的角即为∠NMC．
由于此时，MC=
AC
2
=1=NC，MN=
(
2
2
)2+(
2
2
)2
=1，故△MNC为等边三角形，故∠NMC=
π
3
，
即MN与AC所成的角等于
π
3
．
点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理的应用，求两条直线所成的角，属于中档题．
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