【题目】已知函数．

（1）当时，求曲线在点的切线方程；

（2）讨论函数的单调性．

【答案】（1）；（2）当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.

【解析】

(1)根据导数的几何意义求解即可.

(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.

（1）当时,,则切线的斜率为.

又,则曲线在点的切线方程是,

即.

（2）的定义域是.

.

①当时,,所以当时,；当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减；

②当时,,所以当和时,；当时,,

所以在和上单调递增,在上单调递减；

③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增；

④当时,,

所以和时,；时,.

所以在和上单调递增,在上单调递减.

综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减；当时,在和上单调递增,在上单调递减；当时,在上单调递增；当时,在和上单调递增,在上单调递减.

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