【题目】已知动圆过定点
，且与直线
相切，动圆圆心的轨迹为
，过
作斜率为
的直线
与交于两点
，过分别作的切线，两切线的交点为
，直线
与交于两点
．
（1）证明：点始终在直线
上且
；
（2）求四边形
的面积的最小值．
【答案】（1）见解析（2）最小值为32．
【解析】
（1）根据抛物线的定义，判断出
的轨迹为抛物线，并由此求得轨迹的方程.设出
两点的坐标，利用导数求得切线
的方程，由此求得
点的坐标.写出直线
的方程，联立直线的方程和曲线的方程，根据韦达定理求得点的坐标，并由此判断出始终在直线
上，且
.
（2）设直线
的倾斜角为
，求得
的表达式，求得
的表达式，由此求得四边形
的面积的表达式进而求得四边形的面积的最小值．
(1)∵动圆过定点
，且与直线
相切，∴动圆圆心到定点和定直线
的距离相等，∴动圆圆心的轨迹是以为焦点的抛物线，∴轨迹的方程为：
，
设
，∴直线
的方程为：
，即：
①，同理，直线
的方程为：
②，
由①②可得：
，
直线方程为：
，联立
可得：
，
，∴点始终在直线上且；
（2）设直线的倾斜角为，由（1）可得：
，
，
∴四边形的面积为：
，当且仅当
或
，即
时取等号，∴四边形的面积的最小值为32.
培优好卷单元加期末卷系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线C1的普通方程为(x-1)2 +y2 =1，曲线C2的参数方程为
（θ为参数）.
（Ⅰ）求曲线C1和C2的极坐标方程：
（Ⅱ）设射线θ=
(ρ>0)分别与曲线C1和C2相交于A，B两点，求|AB|的值．
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【题目】如图所示的几何体中，
平面
，
，四边形为菱形，
，点
，
分别在棱
，
上.
（1）若
平面
，设
，求
的值；
（2）若
，
，直线
与平面所成角的正切值为
，求三棱锥
的体积.
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【题目】已知椭圆
与x轴负半轴交于
，离心率
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线
与椭圆C交于
两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于
两点，若
，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
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【题目】已知椭圆
的左右焦点分别为
，
，点
是椭圆
上一点，以
为直径的圆
：
过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率大于0的直线
与的另一个交点为
，与直线
的交点为
，过点
且与垂直的直线
与直线交于点
，求
面积的最小值.
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【题目】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角BCGA的大小.
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【题目】如图，直线
平面
，垂足为
，三棱锥
的底面边长和侧棱长都为4，
在平面内，
是直线
上的动点，则点到平面
的距离为_______，点到直线
的距离的最大值为_______.
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【题目】已知函数
．
（1）若曲线
在
处的切线的方程为
，求实数
的值；
（2）设
，若对任意两个不等的正数
，都有
恒成立，求实数的取值范围；
（3）若在
上存在一点
，使得
成立，求实数的取值范围．
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数，
）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
，射线
与曲线交于
两点，直线与曲线相交于
两点.
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）当
时，求
的值.
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