Question

【题目】已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx+1，g（x）=f（x）﹣x，其中a∈R．
（Ⅰ）当a=﹣ 时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数g（x）的单调区间；
（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，若y=f（x）图象上的点都在 所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当a=﹣ 时，f（x）=﹣ x2+ x+lnx+ ，
f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣ ；
列表讨论f′（x）和f（x）的变化情况：

x	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣
f（x）	↗	极大值	↘

∴当x=2时，f（x）取得极大值f（2）=ln2+ ；
（Ⅱ）当a＞0时，g（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx+a+1，
g（x）的定义域为（0，+∞），
g′（x）= ，
令g′（x）=0，得x=1或x= ，
①当0＜a＜ ，即 ＞1时，
由g′（x）＜0，解得：1＜x＜ ，
由g′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞ ，
∴g（x）在（1， ）上单调递减，
在（0，1），（ ，+∞）上单调递增；
②当a= ，即 =1时，在（0，+∞）上，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增；
③当a＞ ，即0＜ ＜1时，
由g′（x）＜0，解得 ＜x＜1，由g′（x）＞0，解得0＜x＜ 或x＞1，
∴g（x）在（ ，1）上单调递减，
在（0， ），（1，+∞）上单调递增．
（Ⅲ）∵y=f（x）图象上的点都在 所表示的平面区域内，
∴当x∈[1，+∞）时，f（x）﹣x≤0恒成立，
即当x∈[1，+∞）时，g（x）=a（x﹣1）2+lnx+1﹣x≤0恒成立．
只需g（x）max≤0；
①当a＞0时，由（Ⅱ）知，
当0＜a＜ 时，g（x）在（1， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，
∴g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
当a≥ 时，g（x） 在（1，+∞）上单调递增，
∴g（x）在[1，+∞）上无最大值，不满足条件；
②当a=0时，g′（x）=﹣ ，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）≤g（1）=0成立；
③当a＜0时，g′（x）= ，在（1，+∞）上，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）≤g（1）=0成立，
综上可知，实数a的取值范围是a≤0
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）问题转化为x∈[1，+∞）时，g（x）=a（x﹣1）2+lnx+1﹣x≤0恒成立，只需g（x）max≤0即可，根据函数的单调性求出a的范围．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．