Question

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上； 

②恒有平面A′GF⊥平面BCED；

③三棱锥A′—FED的体积有最大值；

④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；

其中正确命题的序号是              ．

 

Answer 1

【答案】

①②③

【解析】

试题分析：过A′作A'H⊥面ABC，垂足为H，因为△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交，所以AG⊥DE A′G⊥DE，又因为AG∩A′G=G，所以DE⊥面A′GA，

因为DE⊂面ABC，所以面A′GF⊥面ABC且面A′GA∩面ABC=AF

所以H在AF上，故恒有平面A′GF⊥平面BCED，故①对③对．

S_{三棱锥A′-FED}=S_△EFD•A′H，因为底面面积是个定值，所以当A′H为A′G时，三棱锥的面积最大，故②对；在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故④不对故答案为：（1）（2）（3）．

考点：本题考查平空间中点、线、面的位置关系；线面、面面垂直的判定定理与性质定理；异面直线所成的角；命题真假的判断。

点评：此类题型一般涉及多个知识点，综合性较强，但难度不大。对于错误的命题举出反例即可．