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设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
，n∈N*．
（1）求数列{an}的通项；
（2）设bn=
，求数列{bn}的前n项和Sn．
| n |
| 3 |
（1）求数列{an}的通项；
（2）设bn=
| n |
| an |
分析：（1）由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
⇒当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
，两式作差求出数列{an}的通项．
（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．
| n |
| 3 |
| n-1 |
| 3 |
（2）由（1）的结论可知数列{bn}的通项．再用错位相减法求和即可．
解答：解：（1）∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=
，①
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
．②
①-②，得3n-1an=
，an=
（n≥2），
在①中，令n=1，
得a1=
．∴an=
．
（2）∵bn=
，
∴bn=n•3n．
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n．③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④
④-③，得2Sn=n•3n+1-（3+32+33+…+3n），
即2Sn=n•3n+1-
．
∴Sn=
+
．
| n |
| 3 |
∴当n≥2时，a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=
| n-1 |
| 3 |
①-②，得3n-1an=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n |
在①中，令n=1，
得a1=
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3n |
（2）∵bn=
| n |
| an |
∴bn=n•3n．
∴Sn=3+2×32+3×33+…+n•3n．③
∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n•3n+1．④
④-③，得2Sn=n•3n+1-（3+32+33+…+3n），
即2Sn=n•3n+1-
| 3(1-3n) |
| 1-3 |
∴Sn=
| (2n-1)3n+1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题的第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列．
