已知数列{an}是由正数组成的等差数列，p，q，r为非零自然数．
证明：（1）若p+q=2r，则
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
；
（2）
1
a
2
1
+
1
a
2
2
+…+
1
a
2
2n-2
+
1
a
2
2n-1
≥
2n-1
a
2
n
(n＞1)．
分析：（1）设{an}的公差为d，由p+q=2r，ap+aq=2ar，知
a
2
p
+
a
2
q
≥
1
2
(ap+aq)2=2
a
2
r
．由此能够证明
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
．
（2）由
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
≥
2
a
2
n
(i=1，2，3…2n-1)，知
2n-1
i=1
(
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
)≥
2
a
2
n
(2n-1)．
解答：解：（1）设{an}的公差为d，
由p+q=2r，
ap+aq=2ar
∴
a
2
p
+
a
2
q
≥
1
2
(ap+aq)2=2
a
2
r

又(apaq)2≤[(
ap+aq
2
)2]2=
a
4
r

∴
1
a
2
p
+
1
a
2
q
≥
2
a
2
r
a
4
r
=
2
a
2
r
且d=0时，“=”成立
（2）由（1）知：
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
≥
2
a
2
n
(i=1，2，3…2n-1)
∴
2n-1
i=1
(
1
a
2
i
+
1
a
2
2n-i
)≥
2
a
2
n
(2n-1)
点评：本题考查数列与不等式的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
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