Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）求关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数的定义域为R，

因为f（x）= = = = ，

所以f（﹣x）= = ，

则f（x）+f（﹣x）= + =0，

所以f（x）是奇函数

（2）解：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

由（1）得，f（x）= ，

设任意x1，x2∈R，且x1＜x2，

f（x1）﹣f（x2）= ﹣（ ）

= = ，

∵x1＜x2，∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），

∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数

（3）解：由（1）得f（x）是奇函数，

∴不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0等价于f（2x﹣1）＞f（﹣x﹣3），

∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，

∴2x﹣1＜﹣x﹣3，解得x＜ ，

∴不等式的解集是（﹣∞， ）

【解析】（1）求出函数的定义域，利用指数的运算法则化简f（x）、f（﹣x），由函数奇偶性的定义判断出奇偶性；（2）利用指数函数的单调性判断出f（x）的单调性，利用定义法证明函数单调性步骤：取值、作差、变形、定号、下结论进行证明；（3）由奇函数的性质等价转化不等式f（2x﹣1）+f（x+3）＞0，由单调性列出不等式求出解集．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．