Question

【题目】设函数f（x）=xea﹣x+bx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=（e﹣1）x+4，

∴当x=2时，y=2（e﹣1）+4=2e+2，即f（2）=2e+2，

同时f′（2）=e﹣1，

∵f（x）=xea﹣x+bx，

∴f′（x）=ea﹣x﹣xea﹣x+b，

则 ，

即a=2，b=e；

（2）解：∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe2﹣x+ex，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，

f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，

由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即当x=2时，f′（x）取得极小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，

∴f′（x）＞0恒成立，

即函数f（x）是增函数，

即f（x）的单调区间是（﹣∞，+∞）

【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义求出函数的切线斜率以及f（2），建立方程组关系即可求a，b的值；（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求f（x）的单调区间．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．