【题目】设函数.
(1)若是
的极大值点,求
的取值范围;
(2)当,
时,方程
(其中
)有唯一实数解,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)由题意,求得函数的导数得到,分类讨论得到函数的单调性和极值,即可求解实数
的取值范围;
(2)因为方程有唯一实数解,即
有唯一实数解,设
,利用导数
,令
,得
,由此入手即可求解实数m的值.
(1)由题意,函数的定义域为
,则导数为
由,得
,∴
①若,由
,得
.
当时,
,此时
单调递增;
当时,
,此时
单调递减.
所以是
的极大值点
②若,由
,得
,或
.
因为是
的极大值点,所以
,解得
综合①②:的取值范围是
(2)因为方程有唯一实数解,所以
有唯一实数解
设,则
,
令,即
.
因为,
,所以
(舍去),
当时,
,
在
上单调递减,
当时,
,
在
单调递增
当时,
,
取最小值
则,即
,
所以,因为
,所以
(*)
设函数,
因为当时,
是增函数,所以
至多有一解
因为,所以方程(*)的解为
,即
,解得
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【题目】已知圆,过点
向圆
引两条切线
,
,切点为
,
,若点
的坐标为
,则直线
的方程为____________;若
为直线
上一动点,则直线
经过定点__________.
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【题目】为响应党中央“扶贫攻坚”的号召,某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高,根据以往的经验,随着温度的升高,其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数:
经计算: ,
,
,
,
,
,
,其中
分别为试验数据中的温度和死亡株数,
.
(1)若用线性回归模型,求关于
的回归方程
(结果精确到
);
(2)若用非线性回归模型求得关于
的回归方程为
,且相关指数为
.
(i)试与(1)中的回归模型相比,用说明哪种模型的拟合效果更好;
(ii)用拟合效果好的模型预测温度为时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数).
附:对于一组数据,
,……,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
;相关指数为:
.
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【题目】我国西部某省级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了
万元修复和加强民俗文化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按
天计算)每天的旅游人数
与第
天近似地满足
(千人),且参观民俗文化村的游客人均消费
近似地满足
(元).
(1)求该村的第x天的旅游收入,并求最低日收入为多少?(单位:千元,
,
);
(2)若以最低日收入的作为每一天的纯收入计量依据,并以纯收入的
税率收回投资成本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
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【题目】已知坐标平面上动点与两个定点
,
,且
.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点
的直线
被
所截得的线段长度为8,求直线
的方程.
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【题目】如图,、
是双曲线
的两个焦点,一条直线与双曲线的右支相切,且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点,求证: (1)
; ⑵
、
、A、B四点在同一个圆上.
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【题目】下列命题:①“”是“存在
,使得
成立”的充分不必要条件;②“
”是“存在
,使得
成立”的必要条件;③“
”是“不等式
对一切
恒成立”的充要条件. 其中所以真命题的序号是
A.③B.②③C.①②D.①③
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