【题目】已知函数， .

（Ⅰ）求证：当时， ；

（Ⅱ）若函数在（1，+∞）上有唯一零点，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）(0，1)

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，得，分析单调性得当时， 即得证；（Ⅱ） 对t进行讨论①， 在[1，+∞)上是增函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，②若， 在[1，+∞)上是减函数，所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，③若0<t<1时分析单调性借助于第一问，找到，则当时，即成立；取，则当时， ，即，说明存在，使得，即存在唯一零点；

试题解析：（Ⅰ）由，得．

当变化时， 与的变化情况如下表：

x

(0，4)

4

(4，+∞)

+

0

-

所以当时， ；

（Ⅱ）

①若，则当时， ，所以在[1，+∞)上是增函数，

所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

②若，则当时， ，所以在[1，+∞)上是减函数，

所以当时， ，所以在(1，+∞)上没有零点，所以不满足条件．

③若0<t<1，则由，得

当变化时， 与的变化情况如下表：

记，则当时，即成立；

由（Ⅰ）知当时， ，即成立，所以取，则当时， 且，从而 ，即，这说明存在，使得，

结合上表可知此时函数在(1，+∞)上有唯一零点，所以0<t<1满足条件．

综上，实数的取值范围为(0，1)．

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