Question

【题目】若函数的图像上存在两个不同的点关于轴对称，则称函数图像上存在一对“偶点”．

（1）写出函数图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）

（2）证明：函数图像上有且只有一对“偶点”；

（3）若函数图像上有且只有一对“偶点”，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）根据题意即正弦函数的性质即可直接求解；

（2）要证：函数数图象上有且只有一对“偶点”，只需证：在上有且只有一个零点，结合导数及函数的性质即可证明；

（3）由题意，问题可转化为函数只有一个零点，结合函数的性质及导数可求．

（1）函数图像上一对“偶点”的坐标为，

（2）设，

因为的定义域为，且，

所以函数为奇函数，

要证：函数图像上有且只有一对“偶点”，

只需证：在上有且只有一个零点，

令，得，

所以，函数在上为单调减函数，在上为单调增函数，

，，

所以函数在上有且只有一个零点，

所以函数图像上有且只有一对“偶点”，

（3）设，，

因为的定义域为，且，

所以函数为奇函数，

因为函数图像上有且只有一对“偶点”，

所以函数在有且只有一个零点，

，，

①当时，因为，

所以函数在上为单调增函数，所以，

所以函数在无零点，

②当时，由，

得：，

所以函数在上单调减函数，在上单调增函数，

所以，

设，，

所以函数在上单调增函数，在上单调减函数，

所以，所以，

所以，

设，设，

因为，

所以函数在单调增函数，

所以，所以函数在单调增函数，

所以，所以当时，，

，

因为函数在上单调增函数，

所以函数在上有且仅有一个，使得，

综上：的取值范围为.