【题目】在正方体中,
、
分别在
和
上(异于端点),则过三点
、
、
的平面被正方体截得的图形不可能是( )
A.正方形B.不是正方形的菱形
C.不是正方形的矩形D.梯形
【答案】A
【解析】
作出图形,设正方体的棱长为,设
,利用勾股定理可判断A选项中的截面图形不可能,结合A选项的推导可判断B选项中的截面图形可能,取
可判断C选项中图形可能,取
可判断D选项中截面图形可能.综合可得出结论.
对于A选项,设正方体的棱长为
,如下图所示:
设,
平面
平面
,平面
平面
,平面
平面
,
,同理
,
若截面为正方形,则
,
过点作
交
于点
,易知
,
,则
,
,
,
,
由勾股定理得,即
,解得
,
所以,截面不可能是正方形;
对于B选项,由A选项可知,当时,截面是不为正方形的菱形;
对于C选项,如下图所示,当时,由于
平面
,
,
平面
,
平面
,
,
平面
平面
,平面
平面
,平面
平面
,由面面平行的性质定理可得
,
,
,
,
此时,四边形为矩形但不是正方形;
对于D选项,如下图所示,
平面
平面
,平面
平面
,平面
平面
,由面面平行的性质定理可得
,
当时,过点
作
交
于点
,易知
且
,
此时,截面图形为梯形.
故选:A.
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【题目】如图,在直角中,
,
通过
以直线
为轴顺时针旋转
得到(
).点
为斜边
上一点.点
为线段
上一点,且
.
(1)证明:平面
;
(2)当直线与平面
所成的角取最大值时,求二面角
的正弦值.
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【题目】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,AB为过焦点F且垂直于x轴的抛物线C的弦,已知以AB为直径的圆经过点(-1,0).
(1)求p的值及该圆的方程;
(2)设M为l上任意一点,过点M作C的切线,切点为N,证明:MF⊥NF.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为
,
,
为椭圆C上一点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为,
,过
,
分别作x轴的垂线
,
,椭圆C的一条切线
与
,
交于M,N两点,求证:
是定值.
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线
的极坐标方程为
,
点的极坐标为
,在平面直角坐标系中直线
经过点
,且倾斜角为
.
(1)写出曲线的直角坐标方程以及点
的直角坐标;
(2)设直线与曲线相交于
、
两点,求
的值.
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【题目】已知直线:
与抛物线
切于点
,直线
:
过定点Q,且抛物线
上的点到点Q的距离与其到准线距离之和的最小值为
.
(1)求抛物线的方程及点
的坐标;
(2)设直线与抛物线
交于(异于点P)两个不同的点A、B,直线PA,PB的斜率分别为
,那么是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】百年大计,教育为本.某校积极响应教育部号召,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、北大等排名前十的名校输送更多的人才.该校成立特长班进行专项培训.据统计有如下表格.(其中表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,
表示被清华、北大等名校录取的学生人数)
年份(届) | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
41 | 49 | 55 | 57 | 63 | |
82 | 96 | 108 | 106 | 123 |
(1)通过画散点图发现与
之间具有线性相关关系,求
关于
的线性回归方程;(保留两位有效数字)
(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;
(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,求进行演讲的两人是2018年毕业的人数的分布列和期望.
参考公式:,
参考数据:,
,
,
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