搜索
(本小题满分14分)
如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.
（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面；
（Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1；
（Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.
【答案】
（Ⅰ）A1C1与AC共面，B1D1与BD共面
（Ⅱ）平面A1ACC1⊥平面B1BDD1
（Ⅲ）二面角
的大小为
【解析】解法1（向量法）：
以
为原点，以
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系
如图，
则有
．
（Ⅰ）证明：
．
．
与
平行，
与
平行，
于是
与
共面，
与
共面．
（Ⅱ）证明：
，
，
，
．
与
是平面
内的两条相交直线．
平面．
又平面
过．
平面
平面．
（Ⅲ）解：
．
设
为平面
的法向量，
，
．
于是
，取
，则
，
．
设
为平面
的法向量，
，
．
于是
，取
，则
，
．
．
二面角的大小为．
解法2（综合法）：
（Ⅰ）证明：
平面
，
平面
．
，
，平面
平面．
于是
，
．
设
分别为
的中点，连结
，
有
．
，
于是
．
由
，得
，
故
，与共面．
过点
作
平面于点
，
则
，连结
，
于是
，
，
．
，
．
，
．
所以点在上，故
与共面．
（Ⅱ）证明：平面，
，
又
（正方形的对角线互相垂直），
与是平面内的两条相交直线，
平面．
又平面过，平面平面．
（Ⅲ）解：
直线是直线
在平面上的射影，
，
根据三垂线定理，有
．
过点
在平面
内作
于
，连结
，
则
平面
，
于是
，
所以，
是二面角
的一个平面角．
根据勾股定理，有
．
，有
，
，
，
．
，
，
二面角的大小为．
