【题目】已知函数.

（Ⅰ）判断函数的单调性；

（Ⅱ）求证： .

【答案】（Ⅰ）在和上都是增函数 （Ⅱ）证明见解析

【解析】【试题分析】（1）先对题设条件中函数解析式进行求导，再构造函数对所求得的导函数的值的符号进行判定；（2）先构造函数，再对其求导得到，求出导函数的零点，得到最小值为0，从而证得然后借助函数的单调性，分、、三种情形进行分析推证，使得不等式获证。

解：（Ⅰ）由已知的定义域为，

,

设，则，得，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴

∴在和上都是增函数./span>

（Ⅱ）设，

则，得，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴，即.

①当时， ，

∵在上是增函数，

∴，即，∴.

②当时， ，∵在上是增函数，

∴，即，∴.

③当时，

由①②③可知，对一切，有，即.

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