【题目】已知函数,
为
的导函数.
(1)证明:当时,
;
(2)若是函数
=
在
内零点,求证:
.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)先写出的解析式,
,得到在
,
上,
单调递增.对
求导,得
,得到在
,
上,
单调递减,令
,
,求导,分析单调性,可得
,进而证明
.
(2)由题可知在
,
有根①,令
,则
,
,可得
,因为
,由(1)得
单调性,所以
,又因为(1)可知
上,
单调递减,可得
又因为
,化简即可得证.
(1)证明:,
当时,
,
所以在上,
单调递增.
,
在上,
,
单调递减,
令,
,
,
,
当时,
,
单调递减,
所以,
所以.
(2)证明:若是函数
在
内零点,
则在
有根,
所以在
有根,
即在
有根,①
令,则
,
,
又因为①式成立,所以,
因为,
由(1)可知在上,
单调递增,所以
,
由(1)可知上,
单调递减,
所以
由(1)可知;
所以又因为①式成立,得
,
所以.
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【题目】已知数列的前
项和为
,
,
,
,
.
(1)若,
,求
的值;
(2)若数列的前
项成公差不为0的等差数列,求
的最大值;
(3)若,是否存在
,使
为等比数列?若存在,求出所有符合题意的
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数
,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数的一种方法.例如:3可表示为“
”,26可表示为“
”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用
这9数字表示两位数的个数为
A.13B.14C.15D.16
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【题目】杨辉三角,又称帕斯卡三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》(年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律,现把杨辉三角中的数从上到下,从左到右依次排列,得数列:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
…….记作数列
,若数列
的前
项和为
,则
=( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知函数,其导函数为
.
(1)讨论函数在定义域内的单调性;
(2)已知,设函数
.
①证明:函数在
上存在唯一极值点
;
②在①的条件下,当时,求
的范围.
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【题目】某公司订购了一批树苗,为了检测这批树苗是否合格,从中随机抽测100株树苗的高度,经数据处理得到如图(1)所示的频率分布直方图,其中最高的16株树苗的高度的茎叶图如图(2)所示,以这100株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
(1)求这批树苗的高度高于米的概率,并求图(1)中
,
,
的值;
(2)若从这批树苗中随机选取3株,记为高度在
的树苗数量,求
的分布列和数学期望;
(3)若变量满足
且
,则称变量
满足近似于正态分布
的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布
的概率分布,则认为这批树苗是合格的,将顺利被签收,否则,公司将拒绝签收.试问:该批树苗能否被签收?
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