Question

【题目】已知函数f（x）=log2（16x+k）﹣2x （k∈R）是偶函数．
（1）求k；
（2）若不等式m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， ]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=log2（16x+k）﹣2x=log2（4x+ ），

∴f（﹣x）=log2（4﹣x+ ）=log2（k4x+4﹣x），

由f（﹣x）=f（x）恒成立，得k=1

（2）解：∵log2（4x+4﹣x），令t=4x，由x∈[﹣1， ]，

∴t∈[ ，2]，

∵函数y=t+ 在[ ，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，

∴当t=1时，即x=0时，函数f（x）有最小值f（0）=1，

∴当t= 时，即x=﹣1时，函数f（x）有最大值f（﹣1）=log2 ，

∵m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， ]上恒成立，

∴m﹣1≤1且log2 ≤2m+log217．

解得﹣1≤m≤2

故m的取值范围为[﹣1，2]

【解析】（1）由偶函数的定义f（﹣x）=f（x）恒成立可求；（2）不等式m﹣1≤f（x）≤2m+log217在x∈[﹣1， ]上恒成立，求出函数f（x）最值即可．