Question

【题目】已知函数 ， ．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在x∈[1，e2]时的最值（参考数据：e2≈7.4）；
（Ⅱ）若x∈（0，+∞），有f（x）+g（x）≤0恒成立，求实数a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵当a=2时， ，

∴ ，x＞0，

当1＜x＜2时，f′（x）＞0，得﹣1＜x＜2，当2＜x＜e2时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在[1，2]为增函数，在[2，e2]为减函数．

∴f（x）max=f（2）=2ln2．

．

（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx﹣x+1，则 ，

（i）当a≤0时，h（x）在（0，+∞）上为减函数，而h（1）=0，

∴h（x）≤0在区间x∈（0，+∞）上不可能恒成立，因此a≤0不满足条件．

（ii）当a＞0时，h（x）在（0，a）上递增，在（a，+∞）上递减，

∴h（x）max=h（a）=alna﹣a+1．

∵h（x）≤0在x∈（0，+∞）恒成立，∴h（x）max≤0．即alna﹣a+1≤0．

令g（a）=alna﹣a+1，（a＞0），则g'（a）=lna，

∴g（a）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，

∴g（a）min=g（1）=0，故a=1

【解析】（Ⅰ）当a=2时，求出 ，x＞0，由此利用导数性质能求出f（x）在x∈[1，e2]时的最值．（Ⅱ）令h（x）=f（x）+g（x）=alnx﹣x+1，则 ，当a≤0时，不满足条件；当a＞0时，h（x）max=h（a）=alna﹣a+1≤0，令g（a）=alna﹣a+1，（a＞0），则g'（a）=lna，g（a）min=g（1）=0，由此能求出a．
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．