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已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为2
，圆C的面积小于13．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
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（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过点M（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB．是否存在这样的直线l，使得直线OD与MC恰好平行？如果存在，求出l的方程；如果不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，结合勾股定理，建立方程，根据圆C的面积小于13，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设
∥
，则-3（x1+x2）=y1+y2，即可得出结论．
（Ⅱ）分类讨论，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理，再假设
| OD |
| MC |
解答：解：（I）设圆C：（x-a）2+y2=R2（a＞0），
由题意知
，解得a=1或a=
，…（3分）
又∵S=πR2＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）2+y2=4． …（6分）
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立
，消去y得：（1+k2）x2+（6k-2）x+6=0，…（9分）
∴△=（6k-2）2-24（1+k2）=36k2-6k-5＞0，
解得k＜1-
或k＞1+
．
x1+x2=-
，y1+y2=k（x1+x2）+6=
，
=
(
+
)=
(x1+x2，y1+y2)，
=(1，-3)，
假设
∥
，则-3（x1+x2）=y1+y2，
∴3×
=
，
解得k=
∉(-∞， 1-
)∪(1+
， +∞)，假设不成立．
∴不存在这样的直线l． …（13分）
由题意知
|
| 13 |
| 8 |
又∵S=πR2＜13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：（x-1）2+y2=4． …（6分）
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2），
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立
|
∴△=（6k-2）2-24（1+k2）=36k2-6k-5＞0，
解得k＜1-
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
x1+x2=-
| 6k-2 |
| 1+k2 |
| 2k+6 |
| 1+k2 |
| OD |
| 1 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| MC |
假设
| OD |
| MC |
∴3×
| 6k-2 |
| 1+k2 |
| 2k+6 |
| 1+k2 |
解得k=
| 3 |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴不存在这样的直线l． …（13分）
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
