【题目】在平面直角坐标系xOy中动圆P与圆外切,与圆
内切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)直线l过点且与动圆圆心P的轨迹交于A、B两点.是否存在
面积的最大值,若存在,求出
的面积的最大值;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)存在,
.
【解析】
(1)设动圆圆心,半径为
.利用已知条件转化判断动圆圆心P在以
,
为焦点的椭圆上,求出
然后求解椭圆的方程;
(2)设直线的方程为
或
(舍).联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理、弦长公式表示
的面积,利用换元法和导数在函数最值中的应用即可求出结果.
(1)设点,动圆
的半径为
,
由题意知,,
,
.
由椭圆定义可知,动圆圆心在以
,
为焦点的椭圆上,
,
,
∴.所以
.
由于圆M内切于圆N于点,则
.
因此,动圆圆心的轨迹方程为
.
(2)因为直线过点
,
若直线的方程为
,显然构成不了
,故舍去;
故可设直线的方程为
,
则,整理得
.
由.
设点、
,
则,
.
则
,
因为.
设,则
,
则.
设,
所以在区间
上为增函数,
所以.所以
,
当且仅当时取等号,即
.
因此,面积的最大值为
.
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【题目】《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位所著,该作完善了珠算口诀,确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变,该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走,提壶去买酒。遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒。借问此壶中,原有多少酒?”,如图为该问题的程序框图,若输出的值为0,则开始输入的
值为( )
A. B.
C. D.
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【题目】北极冰融是近年来最引人注目的气候变化现象之一白色冰面融化变成颜色相对较暗的海冰,被称为“北极变暗”现象,21世纪以来,北极的气温变化是全球平均水平的2倍,被称为“北极放大”现象.如图为北极年平均海冰面积()与年平均
浓度图.则下列说法正确的是( )
A.北极年海冰面积逐年减少
B.北极年海冰面积减少速度不断加快
C.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成负相关
D.北极年海冰面积与年平均二氧化碳浓度大体成正相关
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【题目】2019年是新中国成立七十周年,新中国成立以来,我国文化事业得到了充分发展,尤其是党的十八大以来,文化事业发展更加迅速,下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数(个)与对应年份编号的散点图(为便于计算,将 2013 年编号为 1,2014 年编号为 2,…,2018年编号为 6,把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量,把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析),得到回归直线,其相关指数
,给出下列结论,其中正确的个数是( )
①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强
②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个
③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个
A.0B.1C.2D.3
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【题目】已知四边形是梯形(如图1),
,
,
,
,E为
的中点,以
为折痕把
折起,使点D到达点P的位置(如图2),且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求点C到平面的距离.
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【题目】中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数的一种方法.例如:3可表示为“
”,26可表示为“
”.现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用
这9数字表示两位数的个数为
A.13B.14C.15D.16
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【题目】已知函数,其导函数为
.
(1)讨论函数在定义域内的单调性;
(2)已知,设函数
.
①证明:函数在
上存在唯一极值点
;
②在①的条件下,当时,求
的范围.
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【题目】给出下列命题,其中正确命题的个数为( )
①若样本数据,
,…,
的方差为2,则数据
,
,…,
的方差为4;
②回归方程为时,变量x与y具有负的线性相关关系;
③随机变量X服从正态分布,
,则
;
④甲同学所在的某校高三共有5003人,先剔除3人,再按系统抽样的方法抽取容量为200的一个样本,则甲被抽到的概率为.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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