Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= 取得最大值2，方程f（x）=0的两个根为x1、x2 ， 且|x1﹣x2|的最小值为π．
（1）求f（x）；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间和在（﹣ ， ）上的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= 取得最大值2，∴A=2，

方程f（x）=0的两个根为x1、x2，且|x1﹣x2|的最小值为 = =π，∴ω=1，

再根据五点法作图可得1 +φ= ，∴φ= ，∴

（2）解：将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（2x+ ）的图象，

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函数g（x）的增区间为[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

在（﹣ ， ）上，∵2x+ ∈（﹣ ， ），∴g（x）=2sin（2x+ ）∈（﹣1，2]

【解析】（1）由最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性、定义域和值域，求得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．