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(本小题满分12分) 已知函数f(x)＝
(1)作出函数
的图像简图，并指出函数的单调区间；
（2）若f(2－a2)>f(a)，求实数a的取值范围.
解析：(1) f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数；（2）－2<a<1.
【解析】本试题主要是考查了分段函数的作图，以及函数的单调性和不等式的求解综合运用。
（1）利用作出两端二次函数的图像得到第一问。
（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数
故由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，求解得到参数a的范围。
解析：(1) 略 ……………………………………………4分
由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，……………………7分
（2）由（1）可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数
故由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，…………………………………10分
解得－2<a<1.…………………………………………12分
20. 【题文】 (本小题满分13分)
(1)证明：函数
在
上是减函数，在[
，+∞)上是增函数；
【答案】解： （1）证明：见解析；
（2）当
时，方程无解；当
方程有一个解；当
时，方程有两个解.
【解析】本试题主要是考查了二次函数的单调性以及函数与方程的综合运用。
（1）根据但单调性的定义法，设变量，作差，变形定号，下结论。
（2）在第一问的基础上，结合单调性，得到函数的最值，然后分析得到参数的范围。
解： （1）证明：设
，且
则
=
=
=
=
．………4分
（ⅰ）若
，
且
，
，所以
，
即
．所以函数
在区间[，+∞)上单调递增．………6分
（ⅱ）若
，则且
，，
所以
，即
．所以函数在区间[，+∞)上单调递减．………………………………8分
（2）由（1）知函数在区间（1，)上单调递减，在区间[，2]上单调递增
所以
的最小值=
，的最大值=
……………………10分
故当时，方程无解；当方程有一个解；当时，方程有两个解.………………………………………13分
