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【题目】已知函数
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若函数在点
处的切线的斜率为
，证明：当
时，
.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）求得函数
的定义域以及导数
，分
、
、
三种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；
（2）由已知条件求得
，可得
，由
得出
，令
，利用导数求得函数
在
上的最小值
，由此可证得结论.
（1）函数
的定义域为
，
.
，令
得
或
.
①当
时，即当时，
令
，得
；令
，得
或
.
此时，函数单调递减区间为
，单调递增区间为
和
；
②当
时，即当时，对任意的
，
，
此时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
③当
时，即当时.
令，得
；令，得
或
.
此时，函数的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为和；
当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，函数单调递减区间为，单调递增区间为和；
（2）由已知条件得
，解得，
所以，，
要证即证，
令，其中
，
则
，令
，其中，
当时，
，
所以，函数
在区间上单调递增，
，当
时，
，此时，函数单调递减；
当时，
，此时，函数单调递增.
所以，当时，函数取得最小值，即
.
因此，对任意的，
.
