Question

【题目】[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）设曲线经过伸缩变换得到曲线，是曲线上任意一点，求点到曲线的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程为：，的直角坐标方程为：；（2）.

【解析】

（1）直接消参可得曲线的普通方程，整理可得，将代入即可求得曲线的直角坐标方程，问题得解。

（2）利用伸缩变换求得曲线：，利用椭圆的参数方程可设，结合点到直线距离公式及辅助角公式即可解决问题。

解：（1）∵，消参可得曲线的普通方程为：，

∵，∴，

又∵,代入可得：.

故曲线的直角坐标方程为：.

（2）曲线：，经过伸缩变换得到曲线的方程为：，

∴曲线的方程为：.

设，根据点到直线的距离公式可得

（其中），

∴点到曲线的距离的最大值为.