【题目】已知函数 ．

（1） 若是函数的一个极值点，求值和函数的单调区间；

（2）当时，求在区间上的最值．

【答案】（1）函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）

【解析】试题分析：根据是函数的一个极值点，则解得，代入原函数利用导数求出函数的单调区间；把代入函数解析式后，对函数求导，当利用导数研究函数的单调性与极值，求出和，比较后得出最大值.

试题解析：函数的定义域为．

（1）由题有，

所以由是函数的一个极值点得，解得，

此时．

所以，当时， ；当时， ，

即函数在单调递增；在单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）因为，所以， ．

所以，当或时， ；当时， ．

所以函数的单调递增区间为和；单调递减区间为，

又，所以在递减，在递增，

所以的最小值，

又， 及，

所以的最大值为.

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