搜索
【题目】如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，EF∥DC，FD＝FB.
(Ⅰ)若DC＝2EF，求证：OE∥平面ADF；
(Ⅱ)求证：平面AFC⊥平面ABCD；
(Ⅲ)若AB＝FB＝2，AF＝3，∠BCD＝60°，求AF与平面ABCD所成角．
【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析；(Ⅲ) 30°.
【解析】试题分析: （Ⅰ）取AD的中点G，连接OG，FG，证明OGFE为平行四边形，可得OE∥FG，即可证明：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）欲证：平面AFC⊥平面ABCD，即证BD⊥平面AFC；
（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH为AF与平面ABCD所成角，即可求AF与平面ABCD所成角．
试题解析：
(Ⅰ)证明：取AD的中点G，连接OG，FG.
∵对角线AC与BD的交点为O，
∴OG∥DC，OG＝
DC，
∵EF∥DC，DC＝2EF，∴OG∥EF，OG＝EF，∴OGFE为平行四边形，
∴OE∥FG，
∵FG平面ADF，OE平面ADF，
∴OE∥平面ADF；
(Ⅱ)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴OC⊥BD，
∵FD＝FB，O是BD的中点，
∴OF⊥BD，
∵OF∩OC＝O，
∴BD⊥平面AFC，
∵BD平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD；
(Ⅲ)解：作FH⊥AC于H.
∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FAH为AF与平面ABCD所成角，
由题意，△BCD为正三角形，OA＝
，BD＝AB＝2，
∵FD＝FB＝2，
∴△FBD为正三角形，∴OF＝.
△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF＝
＝－，
∴∠AOF＝120°，
∴∠FAH＝∠FAO＝30°，
∴AF与平面ABCD所成角为30°
