Question

【题目】已知a＞0，b＞0，且a2+b2= ，若a+b≤m恒成立，
（Ⅰ）求m的最小值；
（Ⅱ）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且a2+b2= ，

∴9=（a2+b2）（12+12）≥（a+b）2，

∴a+b≤3，（当且仅当 ，即 时取等号）

又∵a+b≤m恒成立，∴m≥3．

故m的最小值为3．

（Ⅱ）要使2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，须且只须2|x﹣1|+|x|≥3．

∴ 或 或

∴ 或 ．

【解析】（Ⅰ）变形已知表达式，利用柯西不等式，求出a+b的最大值，即可求m的最小值；（Ⅱ）通过2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，结合（Ⅰ）的结果，利用x的范围分类讨论，求出实数x的取值范围．