已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标是（1，0）．
（Ⅰ）证明
CA
•
CB
为常数；
（Ⅱ）若动点M满足
CM
=
CA
+
CB
+
CO
（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．
分析：（Ⅰ）当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，
2
)，(2，-
2
)，由此可以求出
CA
•
CB
为常数1．当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0．再利用根与系数的关系能够推导出
CA
•
CB
也为常数1，
（Ⅱ）由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题设条件知得
x1+x2=x+2
y1+y2=y
，再由根与系数的关系和双曲线的性质推导点M的轨迹方程．
解答：（Ⅰ）证明：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
当AB与x轴垂直时，可设点A，B的坐标分别为(2，
2
)，(2，-
2
)，
此时
CA
•
CB
=(1，
2
)•(1，-
2
)=-1．
当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x2-y2=2，有（1-k2）x2+4k2x-（4k2+2）=0．
则x1，x2是上述方程的两个实根，所以x1+x2=
4k2
k2-1
，x1x2=
4k2+2
k2-1
，
于是
CA
•
CB
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1-2)(x2-2)=（k2+1）x1x2-（2k2+1）（x1+x2）+4k2+1=
(k2+1)(4k2+2)
k2-1
-
4k2(2k2+1)
k2-1
+4k2+1=（-4k2-2）+4k2+1=-1．
综上所述，
CA
•
CB
为常数-1．
（Ⅱ）证法一：由条件知F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）．
设M（x，y），则
CM
=(x-1，y)，
CA
=(x1-1，y1)，
CB
=(x2-1，y2)，
CO
=(-1，0)．由
CM
=
CA
+
CB
+
CO
得：
x-1=x1+x2-3
y=y1+y2
即
x1+x2=x+2
y1+y2=y

于是AB的中点坐标为(
x+2
2
，
y
2
)．
当AB不与x轴垂直时，
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x+2
2
-2
=
y
x-2
，即y1-y2=
y
x-2
(x1-x2)．
又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得（x1-x2）（x1+x2）=（y1-y2）（y1+y2），即（x1-x2）（x+2）=（y1-y2）y．
将y1-y2=
y
x-2
(x1-x2)代入上式，化简得x2-y2=4．
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
所以点M的轨迹方程是x2-y2=4．
证法二：同证法一得
x1+x2=x+2
y1+y2=y
①
当AB不与x轴垂直时，由（I）有x1+x2=
4k2
k2-1
．②y1+y2=k(x1+x2-4)=k(
4k2
k-1
-4)=
4k
k2-1
．③
由①②③得x+2=
4k2
k2-1
．④y=
4k
k2-1
．⑤
当k≠0时，y≠0，由④⑤得，
x+2
y
=k，将其代入⑤有y=
4×
x+2
y
(x+2)2
y2
-1
=
4y(x+2)
(x+2)2-y2
．整理得x2-y2=4．
当k=0时，点M的坐标为（-2，0），满足上述方程．
当AB与x轴垂直时，x1=x2=2，求得M（2，0），也满足上述方程．
故点M的轨迹方程是x2-y2=4．
点评：本题考查双曲线的性质及其运用，解题时要熟练掌握根与系数的关系．
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